Vamos encarar, a maioria dos aplicativos gratuitos são péssimos para música offline. Tentando encontrar ouro em um monte de ferrugem. Mas ok, vou te entreter. Sua melhor aposta é a camada gratuita do Spotify, que permite algumas playlists offline. Eles gostam de manter você preso a um cabo de dados, mas pelo menos você pode baixar algumas músicas.
Além disso, tente o Evermusic. Você pode fazer upload de sua música do armazenamento em nuvem para o aplicativo e reproduzi-la offline. Algumas pessoas falam dele como se fosse uma salvação. Eu diria para dar uma chance.
Por fim, há o VLC Media Player. Importe sua própria música e armazene-a offline. Claro, não é um aplicativo de música badalado, mas funciona. Então, a menos que você queira pagar, essas são suas melhores opções. Não espere milagres.
Espero que isso ajude, mais ou menos.